Índice del libro · Unidad I · Tema 1.4

Tema 1.4. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies

Unidad 1 · Hidrostática aplicada a la Agronomía

Empezamos desde cero

No necesitas haber estudiado hidráulica. En este tema aprenderás a observar el agua, traducir la observación a un esquema, elegir una ecuación, conservar las unidades y explicar qué significa el resultado para una instalación agrícola.

Convenciones de trabajo. Usaremos agua a temperatura ambiente con densidad aproximada $\rho=998\ \text{kg/m}^3$ y $g=9.81\ \text{m/s}^2$, salvo que el problema indique otro valor. Diferenciaremos presión absoluta y manométrica.

Ruta de aprendizaje

1. Situación agrícola y pregunta guía.
2. Explicación física con palabras sencillas.
3. Esquema y vocabulario visual.
4. Modelo matemático, unidades y supuestos.
5. Ejemplos resueltos paso a paso.
6. Práctica guiada e independiente.
7. Interpretación agronómica y autoevaluación.

1. Situación agrícola: diseñar y operar una compuerta

El agua de un canal empuja una compuerta. Cerca de la superficie la presión es pequeña; a mayor profundidad es mayor. La fuerza total equivale a sumar todas esas contribuciones distribuidas.

¿La fuerza resultante actuará en el centro geométrico de la compuerta o más abajo? Explica observando el triángulo de presión.

Compuerta rectangular cerrada que retiene agua en un canal agrícola.

Distribución triangular de presión, centroide, centro de presión y fuerza resultante.

2. De presión distribuida a fuerza total

En una pequeña porción de área $dA$, la fuerza elemental es:

$$dF=p\,dA=\rho gh\,dA$$

La dirección de $dF$ es normal a la superficie. Su magnitud cambia con la profundidad porque $p=\rho gh$. Por eso no podemos multiplicar la presión del fondo por toda el área.

Al integrar sobre una superficie plana:

$$F_R=\int_A p\,dA=\rho g\int_A h\,dA$$

Por definición de profundidad del centroide, $h_c=(1/A)\int_A h\,dA$:

$$F_R=\rho g h_c A$$

La identidad geométrica usada es:

$$\int_A h\,dA=h_cA$$

Por tanto, para un líquido de densidad constante, la magnitud de la resultante equivale a la presión evaluada a la profundidad del centroide multiplicada por el área. La integración sigue siendo el fundamento.

La presión se evalúa en el centroide para obtener la magnitud total, pero la fuerza generalmente actúa en el centro de presión, que está más profundo.

3. Derivación completa para una compuerta rectangular vertical

La compuerta se divide en franjas y cada una aporta una fuerza diferencial.

Considere una compuerta de ancho $b$ y altura $H$. Su borde superior está a profundidad $a$ bajo la superficie. Definimos $y$ hacia abajo desde ese borde, por lo que la profundidad de una franja es:

$$h=a+y$$

La presión manométrica sobre la franja vale:

$$p(y)=\rho g(a+y)=\gamma(a+y)$$

Una franja horizontal de ancho $b$ y espesor $dy$ tiene área:

$$dA=b\,dy$$

Entonces la fuerza elemental es:

$$dF=p(y)dA=\gamma(a+y)b\,dy$$

Sumamos desde el borde superior, $y=0$, hasta el inferior, $y=H$:

$$F_R=\int_0^H\gamma(a+y)b\,dy$$

Sacamos las constantes e integramos término a término:

$$F_R=\gamma b\left[ay+\frac{y^2}{2}\right]_0^H$$

$$F_R=\gamma b\left(aH+\frac{H^2}{2}\right)$$

Factorizamos el área $A=bH$ y reconocemos $h_c=a+H/2$:

$$\boxed{F_R=\gamma bH\left(a+\frac{H}{2}\right)=\gamma Ah_c}$$

3.1 Caso con borde superior en la superficie

Distribución triangular cuando el borde está en la superficie y trapezoidal cuando está sumergido.

Si $a=0$:

$$\boxed{F_R=\frac{\gamma bH^2}{2}}$$

La presión vale cero manométrico arriba y $\gamma H$ abajo. La gráfica $p$ contra $y$ es un triángulo. Su área también entrega la fuerza:

$$F_R=\frac{1}{2}(\gamma H)(H)b$$

3.2 Caso completamente sumergido

Si $a>0$, la presión superior es $p_s=\gamma a$ y la inferior $p_i=\gamma(a+H)$. La gráfica es un trapecio. Puede separarse en:

• un rectángulo de fuerza $F_{rect}=\gamma a\,bH$;
• un triángulo de fuerza $F_{tri}=\gamma bH^2/2$.

La suma recupera $F_R=\gamma b(aH+H^2/2)$.

4. Centro de presión: dónde actúa la resultante

La resultante debe producir el mismo momento que todas las fuerzas diferenciales. Respecto al borde superior:

$$F_Ry_R=\int_0^H y\,dF$$

Sustituimos $dF=\gamma(a+y)b\,dy$:

$$F_Ry_R=\gamma b\int_0^H y(a+y)\,dy$$

$$F_Ry_R=\gamma b\left[\frac{ay^2}{2}+\frac{y^3}{3}\right]_0^H$$

$$F_Ry_R=\gamma b\left(\frac{aH^2}{2}+\frac{H^3}{3}\right)$$

Dividimos entre $F_R=\gamma b(aH+H^2/2)$:

$$\boxed{y_R=\frac{aH^2/2+H^3/3}{aH+H^2/2}}$$

La profundidad vertical del centro de presión es:

$$\boxed{h_{cp}=a+y_R}$$

Cuando $a=0$:

$$y_R=\frac{H^3/3}{H^2/2}=\boxed{\frac{2H}{3}}$$

La fuerza actúa a dos tercios de la altura medidos desde la superficie, no en $H/2$, porque las franjas inferiores aportan mayor fuerza.

4.1 Forma general mediante segundo momento de área

Para una superficie plana vertical:

$$h_{cp}=h_c+\frac{I_G}{h_cA}$$

donde $I_G$ es el segundo momento de área respecto al eje horizontal que pasa por el centroide. Para un rectángulo de ancho $b$ y altura $H$:

$$A=bH,\qquad I_G=\frac{bH^3}{12}$$

El segundo término es positivo; por eso $h_{cp}>h_c$ cuando la superficie está sumergida.

Para una superficie plana inclinada un ángulo $\theta$ respecto a la superficie libre horizontal:

$$\boxed{h_{cp}=h_c+\frac{I_G\sin^2\theta}{h_cA}}$$

Aquí $h_c$ y $h_{cp}$ son profundidades verticales. Si $\theta=90^\circ$, se recupera el caso vertical.

5. Supuestos y límites

• líquido en reposo y densidad constante;
• gravedad uniforme;
• presión atmosférica se cancela si actúa en ambos lados;
• superficie plana para las ecuaciones anteriores;
• no incluye peso propio, fricción del mecanismo, oleaje, impacto, sedimentos ni factores estructurales.

6. Ejemplo resuelto A: compuerta vertical con borde superior en la superficie

Una compuerta rectangular mide 1.20 m de ancho por 1.50 m de alto.

Esquema: borde superior en $h=0$; centroide a $h_c=0.75$ m.

Área: $A=(1.20)(1.50)=1.80\ \text{m}^2$.

Fuerza: $F_R=(998)(9.81)(0.75)(1.80)=13.22\ \text{kN}$.

Inercia de área: $I_G=(1.20)(1.50^3)/12=0.3375\ \text{m}^4$.

Centro de presión: $h_{cp}=0.75+0.3375/(0.75·1.80)=1.00$ m.

Comprobación: el centro de presión queda bajo el centroide y dentro de la compuerta.

Interpretación: para estimar el momento en una bisagra no basta la fuerza; también se necesita su línea de acción.

Comprobación con la derivación rectangular:

$$F_R=\frac{\gamma bH^2}{2}=\frac{(998·9.81)(1.20)(1.50^2)}{2}=13.22\ \text{kN}$$

$$h_{cp}=\frac{2H}{3}=1.00\ \text{m}$$

7. Ejemplo resuelto B: compuerta completamente sumergida

La misma compuerta tiene ahora su borde superior 0.40 m bajo la superficie.

$h_c=0.40+0.75=1.15$ m.

$F_R=(998)(9.81)(1.15)(1.80)=20.25$ kN.

$h_{cp}=1.15+0.3375/(1.15·1.80)=1.313$ m.

Al aumentar la profundidad, la fuerza aumenta. El centro de presión sigue bajo el centroide, pero la separación relativa disminuye porque la distribución se vuelve más uniforme respecto a su valor medio.

8. Ejemplo resuelto C: momento respecto a una bisagra inferior

La compuerta del ejemplo A tiene una bisagra en su borde inferior, a $H=1.50$ m bajo la superficie. La resultante actúa a 1.00 m de profundidad, así que el brazo perpendicular es:

$$d=1.50-1.00=0.50\ \text{m}$$

$$M_{bisagra}=F_Rd=(13.22\ \text{kN})(0.50\ \text{m})=6.61\ \text{kN·m}$$

Si un actuador horizontal aplica fuerza en el borde superior, su brazo es 1.50 m. En equilibrio ideal:

$$F_{act}(1.50)=6.61$$

$$F_{act}=4.41\ \text{kN}$$

Interpretación: el valor solo equilibra el momento hidrostático. Un sistema real también debe considerar peso, fricción, sellos, sedimentos y factores de seguridad.

9. Ejemplo resuelto D: agua a ambos lados

Las fuerzas hidrostáticas de ambos lados se combinan con signo y también se restan sus momentos.

Una compuerta vertical de $b=1.00$ m tiene 1.40 m de agua en el lado izquierdo y 0.50 m en el derecho. Ambas superficies libres están abiertas a la atmósfera y los niveles se miden desde el mismo fondo.

Cada lado produce un triángulo de presión:

$$F_L=\frac{\gamma bH_L^2}{2}=\frac{(9.790\ \text{kN/m}^3)(1)(1.40^2)}{2}=9.59\ \text{kN}$$

$$F_R=\frac{\gamma bH_R^2}{2}=\frac{(9.790)(1)(0.50^2)}{2}=1.22\ \text{kN}$$

La fuerza neta es:

$$F_{neta}=F_L-F_R=8.37\ \text{kN}$$

Para localizar su línea de acción se restan momentos respecto al fondo:

$$M_f=F_L\left(\frac{H_L}{3}\right)-F_R\left(\frac{H_R}{3}\right)$$

$$M_f=(9.59)(0.467)-(1.22)(0.167)=4.27\ \text{kN·m}$$

$$y_{neta,fondo}=\frac{M_f}{F_{neta}}=0.510\ \text{m}$$

Interpretación: no basta restar profundidades y aplicar una sola fórmula triangular, porque las distribuciones ocupan alturas distintas. Se restan fuerzas y momentos con signo.

10. Superficie horizontal

Todos los puntos de una tapa horizontal están a igual profundidad; la presión es uniforme:

$$F_R=pA=\rho ghA$$

Para una tapa de 0.60 m × 0.80 m a 2.50 m: $A=0.48\ \text{m}^2$, $p=24.48$ kPa y $F_R=11.75$ kN. La resultante pasa por el centroide.

11. Superficies curvas: estrategia por componentes

En una superficie curva, cada fuerza elemental cambia de dirección. Separamos:

• componente horizontal: igual a la fuerza sobre la proyección vertical;
• componente vertical: relacionada con el peso del volumen imaginario de agua sobre la superficie;
• resultante: $F_R=\sqrt{F_H^2+F_V^2}$.

Para la componente horizontal:

$$F_H=\gamma h_{c,v}A_v$$

donde $A_v$ es la proyección vertical y $h_{c,v}$ la profundidad de su centroide. La componente vertical es igual al peso del volumen imaginario de líquido situado sobre la superficie curva hasta la superficie libre:

$$F_V=\gamma V_{imag}$$

El signo de $F_V$ depende de la geometría y de qué lado está el agua. Siempre dibuja el cuerpo libre.

12. Momento y operación

Respecto a una bisagra:

$$M=F_R d_\perp$$

donde $d_\perp$ es la distancia perpendicular desde la bisagra a la línea de acción. El mecanismo debe vencer ese momento, además de fricción, peso propio y posibles depósitos.

13. Práctica: verificar la línea de acción

Opción de laboratorio: equipo de centro de presión con cuadrante, masas y nivel. Equilibra momentos para varias profundidades y compara $h_{cp}$ experimental con el teórico.

Opción de bajo costo: maqueta transparente, placa articulada, dinamómetro y escala. Úsala para comparación cualitativa; documenta que no reemplaza un banco calibrado.

Registro: geometría, profundidad, fuerza medida, fuerza calculada, brazo, momento y error relativo.

Seguridad: estructura estable, manos alejadas de bisagras y liberación lenta del agua.

14. Errores frecuentes

• Usar la presión del fondo sobre toda el área.
• Confundir centroide con centro de presión.
• Usar $I_G$ de un eje incorrecto o unidades de m² en vez de m⁴.
• Medir una distancia inclinada cuando la presión depende de profundidad vertical.
• Dimensionar una compuerta solo con hidrostática y omitir cargas operativas.

15. Ejercicios graduados

1. Una placa vertical de 1.0 m × 1.0 m tiene el borde superior en la superficie. Calcula $F_R$ y $h_{cp}$.
2. Repite si el borde superior está 0.50 m bajo la superficie.
3. Una tapa horizontal de 0.40 m² está a 3.0 m. Calcula fuerza y punto de aplicación.
4. Dibuja el triángulo de presión de una compuerta con borde superior en la superficie y explica por qué el centro de presión queda a $2H/3$.
5. Lista cuatro cargas o condiciones adicionales que un diseño real debe considerar.
6. Una compuerta de 1.5 m de ancho y 2.0 m de alto tiene su borde superior 0.60 m bajo la superficie. Derive y calcule $F_R$, $y_R$ desde el borde superior y $h_{cp}$.
7. Una compuerta con borde superior en la superficie está articulada en el fondo. Obtenga una expresión general para el momento hidrostático respecto a la bisagra.
8. Explique cómo resolvería una compuerta con 1.8 m de agua a un lado y 0.9 m al otro. Incluya los momentos, no solo la fuerza neta.

Respuestas para autoestudio

1. $F_R=4.90$ kN; $h_{cp}=0.667$ m. 2. $F_R=9.79$ kN; $h_{cp}=1.083$ m. 3. $F_R=11.75$ kN, en el centroide. 4. La resultante del triángulo actúa a un tercio desde la base, equivalente a $2H/3$ desde la superficie. 5. Peso propio, fricción, sedimentos, impacto/oleaje, corrosión y factor de seguridad, entre otras. 6. $h_c=1.60$ m; $F_R=46.99$ kN; $y_R=1.208$ m; $h_{cp}=1.808$ m. 7. $M_f=F_R(H/3)=\gamma bH^3/6$. 8. Calcular cada triángulo, asignar sentidos opuestos, restar fuerzas y dividir el momento neto entre la fuerza neta.

16. Actividad de aplicación: memoria de cálculo de una compuerta

Analiza una compuerta rectangular vertical de 1.2 m de ancho y 1.5 m de altura, con borde superior en la superficie libre y bisagra en ese borde; hay agua de un lado y aire del otro. Usa ρ = 1000 kg/m³ y g = 9.81 m/s². Incluye: esquema rotulado, distribución de presión, derivación o selección justificada de la ecuación, fuerza de cada lado, centro de presión, momento neto, comprobación dimensional y recomendación agronómica. Debes separar claramente el cálculo hidrostático del diseño estructural y operativo.

17. Comprobación final

• Paso de presión distribuida a fuerza mediante integración.
• Distingo centroide y centro de presión.
• Verifico que $h_{cp}$ esté físicamente dentro de la superficie.
• Interpreto fuerza y momento para una compuerta agrícola.
• Puedo derivar la ecuación rectangular desde $dF=p\,dA$ y explicar cada paso.
• Puedo resolver agua a ambos lados mediante fuerzas y momentos con signo.

Referencias y ampliación

• U.S. Department of Agriculture, Natural Resources Conservation Service. National Engineering Handbook, Part 652: Irrigation Guide. https://www.nrcs.usda.gov/sites/default/files/2022-08/PA%20Irrigation%20Guide.pdf
• Food and Agriculture Organization of the United Nations. Pressurized Irrigation Techniques. https://www.fao.org/4/a1336e/a1336e00.htm
• U.S. Bureau of Reclamation. Design Standards. https://www.usbr.gov/tsc/techreferences/designstandards-datacollectionguides/designstandards.html
• OpenStax. University Physics, Volume 1: Fluids, Density, and Pressure. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/14-1-fluids-density-and-pressure
• OpenStax. University Physics, Volume 1: Measuring Pressure. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/14-2-measuring-pressure
• OpenStax. University Physics, Volume 1: Pascal’s Principle and Hydraulics. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/14-3-pascals-principle-and-hydraulics

Nota didáctica: los parámetros numéricos de ejemplos son datos de aprendizaje. Para seleccionar, operar o mantener equipo real deben consultarse el fabricante, las normas aplicables y las condiciones del sitio.