Tema 1.4. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies

Unidad 1 · Hidrostática aplicada a la Agronomía

Empezamos desde cero

No necesitas haber estudiado hidráulica. En este tema aprenderás a observar el agua, traducir la observación a un esquema, elegir una ecuación, conservar las unidades y explicar qué significa el resultado para una instalación agrícola.

Convenciones de trabajo. Usaremos agua a temperatura ambiente con densidad aproximada $\rho=998\ \text{kg/m}^3$ y $g=9.81\ \text{m/s}^2$, salvo que el problema indique otro valor. Diferenciaremos presión absoluta y manométrica.

Ruta de aprendizaje

1. Situación agrícola y pregunta guía.
2. Explicación física con palabras sencillas.
3. Esquema y vocabulario visual.
4. Modelo matemático, unidades y supuestos.
5. Ejemplos resueltos paso a paso.
6. Práctica guiada e independiente.
7. Interpretación agronómica y autoevaluación.

1. Situación agrícola: diseñar y operar una compuerta

El agua de un canal empuja una compuerta. Cerca de la superficie la presión es pequeña; a mayor profundidad es mayor. La fuerza total equivale a sumar todas esas contribuciones distribuidas.

¿La fuerza resultante actuará en el centro geométrico de la compuerta o más abajo? Explica observando el triángulo de presión.

Compuertas planas y curvas en infraestructura agrícola.

Distribución triangular de presión, centroide, centro de presión y fuerza resultante.

2. De presión distribuida a fuerza total

En una pequeña porción de área $dA$, la fuerza elemental es:

$$dF=p\,dA=\rho gh\,dA$$

Al integrar sobre una superficie plana:

$$F_R=\int_A p\,dA=\rho g\int_A h\,dA$$

Por definición de profundidad del centroide, $h_c=(1/A)\int_A h\,dA$:

$$F_R=\rho g h_c A$$

La presión se evalúa en el centroide para obtener la magnitud total, pero la fuerza generalmente actúa en el centro de presión, que está más profundo.

3. Centro de presión en una superficie vertical

Para una superficie plana vertical:

$$h_{cp}=h_c+\frac{I_G}{h_cA}$$

donde $I_G$ es el segundo momento de área respecto al eje horizontal que pasa por el centroide. Para un rectángulo de ancho $b$ y altura $H$:

$$A=bH,\qquad I_G=\frac{bH^3}{12}$$

El segundo término es positivo; por eso $h_{cp}>h_c$ cuando la superficie está sumergida.

4. Supuestos y límites

• líquido en reposo y densidad constante;
• gravedad uniforme;
• presión atmosférica se cancela si actúa en ambos lados;
• superficie plana para las ecuaciones anteriores;
• no incluye peso propio, fricción del mecanismo, oleaje, impacto, sedimentos ni factores estructurales.

5. Ejemplo resuelto A: compuerta vertical con borde superior en la superficie

Una compuerta rectangular mide 1.20 m de ancho por 1.50 m de alto.

Esquema: borde superior en $h=0$; centroide a $h_c=0.75$ m.

Área: $A=(1.20)(1.50)=1.80\ \text{m}^2$.

Fuerza: $F_R=(998)(9.81)(0.75)(1.80)=13.22\ \text{kN}$.

Inercia de área: $I_G=(1.20)(1.50^3)/12=0.3375\ \text{m}^4$.

Centro de presión: $h_{cp}=0.75+0.3375/(0.75·1.80)=1.00$ m.

Comprobación: el centro de presión queda bajo el centroide y dentro de la compuerta.

Interpretación: para estimar el momento en una bisagra no basta la fuerza; también se necesita su línea de acción.

6. Ejemplo resuelto B: compuerta completamente sumergida

La misma compuerta tiene ahora su borde superior 0.40 m bajo la superficie.

$h_c=0.40+0.75=1.15$ m.

$F_R=(998)(9.81)(1.15)(1.80)=20.25$ kN.

$h_{cp}=1.15+0.3375/(1.15·1.80)=1.313$ m.

Al aumentar la profundidad, la fuerza aumenta. El centro de presión sigue bajo el centroide, pero la separación relativa disminuye porque la distribución se vuelve más uniforme respecto a su valor medio.

7. Superficie horizontal

Todos los puntos de una tapa horizontal están a igual profundidad; la presión es uniforme:

$$F_R=pA=\rho ghA$$

Para una tapa de 0.60 m × 0.80 m a 2.50 m: $A=0.48\ \text{m}^2$, $p=24.48$ kPa y $F_R=11.75$ kN. La resultante pasa por el centroide.

8. Superficies curvas: estrategia por componentes

En una superficie curva, cada fuerza elemental cambia de dirección. Separamos:

• componente horizontal: igual a la fuerza sobre la proyección vertical;
• componente vertical: relacionada con el peso del volumen imaginario de agua sobre la superficie;
• resultante: $F_R=\sqrt{F_H^2+F_V^2}$.

El signo de $F_V$ depende de la geometría y de qué lado está el agua. Siempre dibuja el cuerpo libre.

9. Momento y operación

Respecto a una bisagra:

$$M=F_R d_\perp$$

donde $d_\perp$ es la distancia perpendicular desde la bisagra a la línea de acción. El mecanismo debe vencer ese momento, además de fricción, peso propio y posibles depósitos.

10. Práctica: verificar la línea de acción

Opción de laboratorio: equipo de centro de presión con cuadrante, masas y nivel. Equilibra momentos para varias profundidades y compara $h_{cp}$ experimental con el teórico.

Opción de bajo costo: maqueta transparente, placa articulada, dinamómetro y escala. Úsala para comparación cualitativa; documenta que no reemplaza un banco calibrado.

Registro: geometría, profundidad, fuerza medida, fuerza calculada, brazo, momento y error relativo.

Seguridad: estructura estable, manos alejadas de bisagras y liberación lenta del agua.

11. Errores frecuentes

• Usar la presión del fondo sobre toda el área.
• Confundir centroide con centro de presión.
• Usar $I_G$ de un eje incorrecto o unidades de m² en vez de m⁴.
• Medir una distancia inclinada cuando la presión depende de profundidad vertical.
• Dimensionar una compuerta solo con hidrostática y omitir cargas operativas.

12. Ejercicios graduados

1. Una placa vertical de 1.0 m × 1.0 m tiene el borde superior en la superficie. Calcula $F_R$ y $h_{cp}$.
2. Repite si el borde superior está 0.50 m bajo la superficie.
3. Una tapa horizontal de 0.40 m² está a 3.0 m. Calcula fuerza y punto de aplicación.
4. Dibuja el triángulo de presión de una compuerta con borde superior en la superficie y explica por qué el centro de presión queda a $2H/3$.
5. Lista cuatro cargas o condiciones adicionales que un diseño real debe considerar.

Respuestas para autoestudio

1. $F_R=4.90$ kN; $h_{cp}=0.667$ m. 2. $F_R=9.79$ kN; $h_{cp}=1.083$ m. 3. $F_R=11.75$ kN, en el centroide. 4. La resultante del triángulo actúa a un tercio desde la base, equivalente a $2H/3$ desde la superficie. 5. Peso propio, fricción, sedimentos, impacto/oleaje, corrosión y factor de seguridad, entre otras.

13. Comprobación final

• Paso de presión distribuida a fuerza mediante integración.
• Distingo centroide y centro de presión.
• Verifico que $h_{cp}$ esté físicamente dentro de la superficie.
• Interpreto fuerza y momento para una compuerta agrícola.

Referencias y ampliación

• U.S. Department of Agriculture, Natural Resources Conservation Service. National Engineering Handbook, Part 652: Irrigation Guide. https://www.nrcs.usda.gov/sites/default/files/2022-08/PA%20Irrigation%20Guide.pdf
• Food and Agriculture Organization of the United Nations. Pressurized Irrigation Techniques. https://www.fao.org/4/a1336e/a1336e00.htm
• U.S. Bureau of Reclamation. Design Standards. https://www.usbr.gov/tsc/techreferences/designstandards-datacollectionguides/designstandards.html
• OpenStax. University Physics, Volume 1: Pascal’s Principle and Hydraulics. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/14-3-pascals-principle-and-hydraulics

Nota didáctica: los parámetros numéricos de ejemplos son datos de aprendizaje. Para seleccionar, operar o mantener equipo real deben consultarse el fabricante, las normas aplicables y las condiciones del sitio.